Todo Un Mundo De Respuestas...: Ecuación de Bernoulli y la Primera Ley de la Termodinámica II...

martes, marzo 22, 2011

Ecuación de Bernoulli y la Primera Ley de la Termodinámica II...

Ecuación de Bernoulli y la Primera Ley de la Termodinámica II

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^\alpha$

donde $\!P(x)$ y $\!Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo $[a,b] \subseteq \mathbb{R}$

Ley De La Electrodinámica

Demostración

Escribamos la primera ley de la termodinámica con un criterio de signos termodinámico conveniente:

$w + q = \Delta h + \Delta \frac{V^2}{2} + g \Delta z$

Recordando la definición de la entalpía

h = u + P v

, donde

u

es la energía interna y

v

se conoce como volumen específico

v = 1 / ρ

. Podemos escribir:

$w + q = \Delta u + \Delta \frac{P}{\rho} + \Delta \frac{V^2}{2} + g \Delta z$

que por la suposiciones declaradas más arriba se puede reescribir como:

$w + q = \frac{P_2}{\rho} - \frac{P_1}{\rho} + \frac{{V_2}^2}{2} - \frac{{V_1}^2}{2} + g (z_2 - z_1)$

dividamos todo entre el término de la aceleración de gravedad

$\frac{w}{g} + \frac{q}{g} = \frac{P_2}{\gamma} - \frac{P_1}{\gamma} + \frac{{V_2}^2}{2 g} - \frac{{V_1}^2}{2 g} + z_2 - z_1$

Los términos del lado izquierdo de la igualdad son relativos a los flujos de energía a través del volumen de control considerado, es decir, son las entradas y salidas de energía del fluido de trabajo en formas de trabajo (

w

) y calor (

q

). El término relativo al trabajo

w / g

consideraremos que entra al sistema, lo llamaremos

h

y tiene unidades de longitud, al igual que

q / g

, que llamaremos

h f

quién sale del sistema, ya que consideraremos que sólo se intercambia calor por vía de la fricción entre el fluido de trabajo y las paredes del conducto que lo contiene. Así la ecuación nos queda:

$h -h_f= \frac{P_2}{\gamma} - \frac{P_1}{\gamma} + \frac{{V_2}^2}{2 g} - \frac{{V_1}^2}{2 g} + z_2 - z_1$